Masa: ¿Qué es Masa, Definición, Masa Molecular, Unidades, Centro

La masa es una propiedad física de las partículas o los objetos que mide su inercia, es decir, su resistencia a modificar su estado de movimiento cuando se le aplica una fuerza. Estrictamente hablando ésta sería la masa inercial. Es una propiedad fundamental de las partículas, como la carga eléctrica o el momento magnético de espín.

También puede definirse como la propiedad de los objetos que define como se atraen unos a otros bajo los efectos de la gravedad, lo que se conoce como masa gravitacional. Hasta ahora todos los experimentos han demostrado que ambas masas son equivalentes.

En el Sistema Internacional de Unidades se mide en kilogramos.



¿Qué es Masa?

¿Qué es masa inercial y masa gravitacional?

De las leyes de Newton se tiene que

F = mia

esta mi es la masa inercial, de la ley de gravitación universal se tiene que

mg es la masa gravitacional, bajo un contexto diferente, entonces son dos cosas diferentes. En la practica podríamos pensar y hasta utilizar un mismo valor para las dos masas, pero veamos que no son iguales.

La ley de gravitación la podemos expresar así:

Supongamos que hay un k = mi/mg

Si la masa inercial y la gravitacional son iguales k debería ser igual a uno, factorizando kqueda:

Donde por analogía con la ley de gravitación universal k² = G

De aquí podemos deducir que las dos masas no son iguales ya que experimentalmente se ha demostrado que G = 6,667x10¯¹¹ N.m² / kg², entonces:

 

¿Qué es un péndulo de torsión?

El péndulo de torsión es un ejemplo de movimiento armónico simple, consiste en un disco o cilindro sólido sostenido por una barra delgada. Si se hace girar el disco en la medida de un ángulo . El momento de torsión es directamente proporcional al desplazamiento angular. Se tiene:

donde k’ es una constante que depende del material de que esta hecha la barra delgada. El periodo del movimiento armónico simple angular esta dado por:

donde I es el momento de inercia del sistema de vibración

 

¿Qué es el efecto Doppler?

El efecto Doppler establece el cambio de frecuencia de un sonido de acuerdo al movimiento relativo entre la fuente del sonido y el observador. Este movimiento puede ser de la fuente, del observador o de los dos. Diríamos que el efecto Doppler asume la frecuencia de la fuente como una constante pero lo escuchado depende de las velocidades de la fuente y del observador.

La frecuencia que percibirá el observador se puede hallar de la siguiente relación:

Donde :

  • fo = frecuencia del observador

  • ff = frecuencia de la fuente

  • v = velocidad del sonido

  • vf = velocidad de la fuente

los velocidades vo y vf son positivas si hay acercamiento y son negativas si se alejan.

¿Es lo mismo la masa y el peso?

La masa de un cuerpo es una propiedad característica del mismo, que está relacionada con el número y clase de las partículas que lo forman. Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras, onzas, etc.

El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra y depende de la masa del mismo. Un cuerpo de masa el doble que otro, pesa también el doble. Se mide en Newtons (N) y también en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza, onzas-fuerza, etc.

El kg es por tanto una unidad de masa, no de peso. Sin embargo, muchos aparatos utilizados para medir pesos (básculas, por ejemplo), tienen sus escalas graduadas en kg en lugar de kg-fuerza. Esto no suele representar, normalmente, ningún problema ya que 1 kg-fuerza es el peso en la superficie de la Tierra de un objeto de 1 kg de masa. Por lo tanto, una persona de 60 kg de masa pesa en la superficie de la Tierra 60 kg-Fuerza. Sin embargo, la misma persona en la Luna pesaría solo 10 kg-fuerza, aunque su masa seguiría siendo de 60 kg. (El peso de un objeto en la Luna, representa la fuerza con que ésta lo atrae.)

Si ponemos en dos básculas iguales 1 kg de plomo y 1 kg de paja, ¿marcarán lo mismo?

Como hemos visto en la pregunta anterior , 1 kg de plomo y 1 kg de paja pesan lo mismo : 1 kg-fuerza. Parece por tanto que las dos básculas deberían de marcar igual. Sin embargo no es así, ya que una báscula no indica el peso del objeto que se coloca encima, sino la fuerza que él mismo hace sobre ella. ¿Qué marcaría la báscula si colocásemos sobre ella un globo de feria. Evidentemente y a pesar de tener peso (la Tierra lo atrae como a todos los objetos que tienen masa), la báscula no marcaría nada, porque el globo se iría volando y no haría ninguna fuerza sobre ella.

El plomo y la paja, no hacen la misma fuerza sobre la báscula aunque su peso sea igual. Esto se debe a que el aire los empuja hacia arriba con una fuerza distinta.

El aire, como todos los fluidos (gases y líquidos), ejerce una fuerza hacia arriba, denominada empuje, sobre los cuerpos que se encuentran en su interior. Esta fuerza es tanto mayor, cuanto mayor sea el volumen del cuerpo.

Como 1 kg de paja tiene un volumen mucho mayor que 1 kg de plomo, el empuje del aire sobre la paja es también mucho mayor que sobre el plomo.

La báscula que tiene la paja, marcará por tanto un poco menos.

La diferencia es pequeña, aproximadamente 1 g-fuerza.

Definición de masa

Todos sabemos lo que es el peso, diferente en cada planeta según la gravedad... pero como definiriais lo que es la masa. Y no me vale: densidad por volumen. 

La masa es una propiedad intrínseca de cada objeto que indica la inercia (su 'resistencia' coloquialmente hablando) que presenta a cambiar su estado de movimiento (o de reposo). Así, la segunda ley de Newton dice que: 

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de su masa y su aceleración, F = m a 

El peso de un cuerpo se define como la fuerza que este experimenta cuando se encuentra sometido a la aceleracion de un campo gravitatorio. Si en la segunda ley de Newton, tomamos el caso particular de que la aceleración es la producida por una campo gravitatorio (pongamos el de la Tierra), y llamamos a=g, entonces esta fuerza se denomina clásicamente 'peso', así que: p = m g 

Es decir, el peso es una fuerza, y por tanto depende del campo gravitatorio en el que se encuentra esa masa m. Si la misma masa m la pesamos en el campo gravitatorio de la Tierra (donde g=9.8 m/s2)o la pesamos en el campo gravitatorio de la Luna (g=1.6 m/s2), el peso en la Luna será 9.8/1.6=6.1 veces menor que en la Tierra, para la misma masa m. Así que mis 85 kilos de peso terrestre son 13.9 kilos de peso lunar; yo sin embargo sigo teniendo la misma masa, 85 kg. 

Aquí conviene aclarar un pequeño lío con la nomenclatura. La unidad de masa (en el sistema estándar internacional SI) es el kilogramo, mientras que se define un kilopondio como la fuerza que ejerce una gravedad estándard (9.8) sobre una masa de 1 kilogramo. Así que cuando nos pesamos lo que realmente estamos haciendo es medir la fuerza de la gravedad sobre nuestra masa, y esto lo expresamos en 'kilos', que son kilogramos de masa o kilopondios de peso, pero que no son 'kilogramos de peso', aunque así es como nos referimos a ellos coloquialmente. 

Fíjense que la diferencia entre la aceleración de la gravedad en la Tierra y en la Luna sale de la fórmula de la gravitación universal de Newton: F = (G M m) / r donde G es la constante de gravitación universal, y tiene el mismo valor en todo el universo, M es la masa del cuerpo que crea el campo gravitatorio (la Tierra, la Luna, etc), y m es el cuerpo que estamos pesando en ese campo gravitatorio a una distancia r. Esta es la misma segunda ley de Newton si ponemos g = G M / r. Por lo tanto el distinto valor de g entre la Tierra y la Luna es porque la razón Masa/radio de ambos es diferente, siendo 6.1 veces mayor para la Tierra. 

En una estrella de neutrones es exactamente lo mismo, en ella M/r es mucho mayor (típicamente M será parecida a la masa del Sol, mientras que r será mucho menor que el tamaño de la Tierra, por lo que g será mucho mayor). Así que mis 85 kilogramos de masa serán los mismos 85 si me voy de viaje a una estrella de neutrones, pero mis 85 kilo (pondio)s de peso terrestres serán muchísimo más sobre la estrella de neutrones. 

Masa Molecular

Hablaremos sobre el concepto de mol y masa molar, ya que son los tipos de cantidades que se manejan en química. El concepto de mol surge como una necesidad, debido a que por ejemplo en una cucharada de cualquier sustancia se encuentran millones de millones de moléculas y estas cifras tan grandes son difíciles de manejar, es entonces que se define una mol como la cantidad de átomos que tendrían 12 gramos de el isótopo carbono doce, esta cantidad ya ha sido estimada y es igual a 6,02X10^23 átomos, este número se le conoce como número de Avogadro y se puede utilizar cuando se trabajan con átomos, moléculas e iones, teniendo en cuenta de no mezclar los términos entre sí, es decir, una mol de átomos de carbono tiene a 6,02X10^23 átomos de carbono, una mol de moléculas de agua tiene a 6,02X10^23 moléculas de agua y una mol de ión nitrato tiene a 6,02X10^23 iones de nitrato.

La masa molar de una sustancia es el peso generalmente en gramos que posee una mol de esta sustancia, cuando se tienen compuestos la masa molar se halla sumando los pesos moleculares individuales de cada elemento que forma el compuesto. Por ejemplo para hallar la masa molar de la glucosa (C6H12O6) se procede aplicando este concepto, como vemos en una mol de glucosa hay 6 átomos de carbono, 12 átomos de hidrógeno y 6 átomos de oxigeno, entonces la masa molar de la glucosa es la suma de las contribuciones individuales así: Masa molar de la glucosa =6(12g/mol)+12(1g/mol)+6(16g/mol) = 180g/mol de glucosa.

Al número de partículas que hemos introducido (6,02·1023) se le llama número de Avogadro
Después de introducir el número de Avogadro de partículas de cada sustancia, hemos obtenido las siguientes masas: 44 g de CO218 g de H2O y 58,5 g de NaCl. Estas son las masas en gramos de 1 mol de cada sustancia. 

Un mol de una sustancia es la cantidad de materia que hay en el número de Avogadro de partículas de la misma.


La masa de un mol medida en gramos, es numéricamente igual a sus correspondientes masas atómicas y moleculares. Por ejemplo, la masa molecular de CO2 es 44 u. 
Por tanto, 1 mol de CO2 contiene 6,02·1023 moléculas y su masa es de 44 g. 

Así calculamos las masas moleculares de cualquier sustancia: 

Compuesto

Cálculo

Masa molecular

CO2

masa atómica C + 2 · masa atómica O = 12 + 2 · 16

44 u

H2O

2 · masa atómica H + masa atómica O = 2 · 1 + 16

18 u

NaCl

masa atómica Na + masa atómica Cl = 23 + 35,5

58,5 g


Un mol de sustancia es la cantidad de materia que hay en el número de Avogadro de partículas de la misma.



Unidades de masa

UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA

Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa.

Ejemplo:

a) Convertir 386 Kilogramos a Libras.

  1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento.

    Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a 1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos.

  2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6.

  3. Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras. 

 

UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO

Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo:

Ejemplo:

a) Convertir 2,352 Segundos a Año.



En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen que convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a días y días a años que son las unidades que necesitamos.

  1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias.

  2. Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352.

  3. Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280

  4. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80

  5. Obteniendo como resultado 

La respuesta es un poco diferente, pero aún así siempre se puede hacer uso de la Notación Científica.

Centro de masa

El objetivo principal de esta seccion es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente , una placa delgada de cualquier forma dada, este punto se llama centro de masa o centro de gravedad de la placa.

El caso mas sencillo entre dos masas m1 y m2 estan fijas en los extremos opuestos de una varilla de masa minima o nula apoyada en un pivote

m1*d1=m2*d2

Supongamos que la varilla esta en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 y el centro de masa en x.

m1(x-x1)=m2(x2-x)

m1x+m2x=m1x1 + m2x2

x= \frac{m1x1 + m1x2}{m1+m2}

En general

x= \frac{\sum_{i=1}^{n} mixi}{\sum_{i=1}^{n} mi}

= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}}{ m}

Donde m= \sum_{i=1}^{n} m_{i} es la masa total del sistema y la suma de los momentos individuales.

M= \sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}

Ahora consideremos un sistema de n particulas como masas  colocados en los puntos  en el plano xy. Decimos que el momento del sistema respecto al eje y

M_{y}= \sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}

y al momento del sistema respecto al eje x

M_{x}= \sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i}

entonces

x= \frac{M_{y}}{m}  y y=\frac{M_{x}}{m}

x= \frac{1}{A}\int_{a}^{b}x f(x) dx


Ejemplo #1

Situe el centro de masa de una placa semicircular de radio r

En este caso no hay necesidad de calcular x porque debido al principio de simetria el centro de masa debe estar en el eje y, asi que x=0. El area de un semicirculo es

y= \frac{1}{A}\int_{-r}^{r}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx


Ejemplo #2

  

M_{y} = \frac{64}{5} \rho

\bar{y} = \frac{4}{\frac{16}{3}} = \frac{3}{4}

\bar{x} = \frac{\frac{64}{5}}{\frac{16}{3}} = \frac{12}{5}


Ejemplo #3

y = x^2 y = 0 x = 4

M_{x} = \frac{\rho }{2} \int_{0}^{4} x^4 dx

M_{x} = \frac{\rho }{2} \frac{1}{5} x^5

M_{x} = \frac{512 }{5}\rho

M_{y} = \rho \int_{0}^{4} x^3 dx

M_{y} = 64 \rho

\bar{y} = \frac{\frac{512}{5} }{\frac{64}{3}} = \frac{24}{5}

Ejemplo # 4

Encuentre el centroide acotado por las curvas: y=x & y =  (x^2)

Graph1.jpg

Encontrando el area...

 A= \int_{0}^{1} (x - x^2) dx  =  [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3} x^3]|_{0}^{1}  ---->  A= \frac 1 6 U^2


Encontrando  \bar X  y  \bar Y ...

\bar{X} = \frac{1}{\frac{1}{6}} \int_{0}^{1} x(x - x^2) dx  ---->  = 6 \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx

 =6[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4} x^4]|_{0}^{1} = \frac 1 2

\bar{Y} = \frac{1}{\frac{1}{6}} \int_{0}^{1} \frac 1 6 ((x)^2 - (x^2)^2) dx  ---->  = 3 \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx

 =3[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5} x^5]|_{0}^{1} = \frac 2 5

 C = ( \frac{1}{2} , \frac{2}{5} )

Teorema de Pappus

Sea \textit{R} una region plana que esta totalmente a un lado de una recta \textit{l} en el plano. Si \textit{R} se hace girar en torno de \textit{l}, el volumen del cuerpo resultante es el producto del área \textit{A} de \textit{R} por la distancia \textit{d}recorrida por el centroide de \textit{R}.


Demostracion

Usando el método de capas cilindricas:

V=\int_{a}^{b}2\pi x[f(x)-g(x)]dx

= 2\pi \int_{a}^{b}x[f(x)-g(x)]dx

=2\pi(xA)

=(2\pi x)A= Ad

en donde \textit{d} = 2\pi x es la distancia recorrida por el centroide durante una vuelta alrededor del eje y.


Ejemplo #1

Un toroide se forma al girar un circulo de radio \textit{r} en torno de una linea en el plano del circulo, que esta a una distancia \textit{R (> r)} del centro del circulo. Calcule el volumen del toroide.

Solución:

El área del circulo es A= \pi r^{2} y d= 2\pi <tex>\textit{R}  entonces:

V= Ad = (2\pi R)(\pi r^{2}) = 2 \pi^{2}r^{2}R

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