Teorema de Pitágoras: ¿Qué es el? Ejercicios, Ejemplos, Demostración, Formula, Definición

Se denomina teorema a aquella proposición que es plausible de ser demostrada de manera lógica y partiendo de un axioma, o en su defecto, de otros teoremas ya demostrados, en tanto, resulta ser necesario observar ciertas reglas de inferencia para conseguir la mencionada demostración.

Por su lado, Pitágoras de Samos fue un popular filósofo y matemático griego que vivió en Grecia entre los años 582 y 507 A.C. Si bien lleva su nombre en su honor por haber dado las condiciones necesarias para que el mismo halla se finalmente una demostración, el teorema de Pitágoras no fue creado directamente por Pitágoras sino que en realidad el mismo fue desarrollado y aplicado muchísimo tiempo antes tanto en Babilonia como en la India, aunque, fue la escuela de Pitágoras la que logró hallar una respuesta formal y contundente respecto del teorema.

¿QUÉ ES EL TEOREMA DE PITÁGORAS?

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:  

    • Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

    • En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):  más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio, nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

EJERCICIOS Teorema de Pitágoras

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Hallar el área del triángulo equilátero:

Hallar la diagonal del cuadrado:

Hallar la diagonal del rectángulo:

Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

P = 8 + 6 + 12 + 6.32 = 32.32 cm

El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

Hallar el área del pentágono regular:

Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

Ejemplos Teorema de Pitágoras

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que

a2 + b2 = c2

Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados ab debe ser de 90 grados. 

Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque 

a2 + b2 = 32 + 42

= 9 + 16 = 25 = c2

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina. 

Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber  

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo 

152 = (10 + 5)2    = 102 + (2)(10)(5) + 52    = 100 + 100 + 25    = 225

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

Por ejemplo: 

52 = (10 - 5)2    = 102 - (2)(10)(5) + 52    = 100 - 100 + 25    = 25

También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab

Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a,b,c). la longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2

No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus partes

(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2

Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2 

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Reste 2ab de ambos lados y obtendrá 

a2 + b2 = c2

 

Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-b). Obtenemos     

c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) 2

= 2ab + (a2 - 2ab + b2)

= a2 + b2 Q.E.D.

Q.E.D. simboliza "quod erat demonstrandum," en latín "lo que queda demostrado,"  que en los libros de geometría, tradicionalmente, marcaban el final de una demostración. La importancia del trabajo de Pitágoras y de los siguientes maestros de geometría griegos, especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el método que desarrollaron: comenzar desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas") y deducir mediante la lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Los matemáticos aún siguen ese modelo.  

Demostración algebraica del teorema de Pitágoras

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

Tenemos una página que explica el Teorema de Pitágoras, pero aquí tienes un breve resumen:

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual el cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

Demostración del teorema de Pitágoras usando álgebra

Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el Álgebra

Mira este diagrama... tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro):

Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es:

A = (a+b)(a+b)

Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:

Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área

 

A = c²

 

 

 

Y hay cuatro triángulos, cada uno con área

 

A =½ab

Así que los cuatro juntos son

 

A = 4(½ab) = 2ab

 

 

 

Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da:

 

A = c²+2ab

El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así:

(a+b)(a+b) = c²+2ab

Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras:

Empezamos con:

 

(a+b)(a+b) = c²+2ab

 

 

 

Desarrollamos (a+b)(a+b):

 

a²+2ab+b² = c²+2ab

 

 

 

Restamos "2ab" de los dos lados:

 

a²+b² = c²

 

 

 

 

 

¡HECHO!

Ahora vemos por qué funciona el teorema de Pitágoras, o con otras palabras, vemos la demostración del teorema de Pitágoras.

Hay muchas otras demostraciones de este teorema, ¡pero esta funciona muy bien!

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