Vectores, ¿Qué es un Vector? Gratis, Tipos, Definición, Suma, Características

Vector

Vector es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”. Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto.

VectorUn vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo y una dirección u orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.

Para la biología, un vector es un agente que puede propagar o transmitir una enfermedad de un organismo a otro. Es posible distinguir entre el vector epidemiológico (que transmite un agente infeccioso desde un individuo afectado a otro que aún no porta dicho agente) y el vector génico(que se encarga de transferir información genética de un organismo a otro).

En el ámbito de la informática, un vector (también conocido como matriz) es una zona de almacenamiento contiguo que alberga elementos de un mismo tipo. Puede entenderse como una serie de elementos ordenados en filas o columnas. El vector ofrece una estructura que facilita el acceso a los datos.

Las imágenes vectoriales son imágenes digitales compuestas por objetos geométricos independientes. Estos objetos (como polígonos o segmentos) están definidos por atributos matemáticos que establecen su color, posición y otras características.

Un vector espacial o cohete de transporte, por último, es un cohete especial diseñado para el transporte de carga útil desde la Tierra al espacio exterior.

Vector (Física)

El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número (por ejemplo, la masa de un cuerpo, el volumen, la capacidad de un depósito, la temperatura...), en la vectorial se necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino también la dirección y el sentido del movimiento. Con este concepto podemos describir en física la velocidad, la aceleración, la fuerza...

Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un orden (segmento orientado). Se representa como siendo A y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el vector se llaman origen y extremo, respectivamente. - El módulo de un vector es la longitud del segmento que lo define. Se representa como:

- Se dice que dos vectores tienen la misma dirección si los segmentos de ambos pertenecen a rectas paralelas.

- Dos vectores de la misma dirección tienen el mismo sentido si la recta definida por sus orígenes deja a los dos extremos en el mismo semiplano.

- Dos vectores se dice que son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos del plano equipolentes a uno dado. A uno de ellos se le denomina representante del vector libre.

Como caso especial está el vector en que coincide el origen con el extremo, consistiendo en un punto. A éste se le denomina vector cero, y se escribe.

Vector (Informática)

En programación, un arreglo, llamado habitualmente vector si tiene una sola dimensión o matriz si tiene dos, llamados en inglés arrays, es una zona de almacenamiento continuo, que contiene una serie de elementos del mismo tipo, los elementos de la matriz. Desde el punto de vista lógico una matriz se puede ver como un conjunto de elementos ordenados en fila (o filas y columnas si tuviera dos dimensiones).

En principio, se puede considerar que todas las matrices son de una dimensión, la dimensión principal, pero los elementos de dicha fila pueden ser a su vez matrices (un proceso que puede ser recursivo), lo que nos permite hablar de la existencia de matrices multidimensionales, aunque las más fáciles de imaginar son los de una, dos y tres dimensiones.

Estas estructuras de datos son adecuadas para situaciones en las que el acceso a los datos se realice de forma aleatoria e impredecible. Por el contrario, si los elementos pueden estar ordenados y se va a utilizar acceso secuencial sería más adecuado utilizar una lista, ya que esta estructura puede cambiar de tamaño fácilmente durante la ejecución de un programa.

Concepto de Vector

La etimología de la palabra vector nos remite al latín “vectoris” derivado del verbo “veho” cuyo significado es el que transporta o conduce, y puede ser usada en diferentes ámbitos.

En un sistema físico, existen ciertas cualidades medibles, llamadas magnitudes. Hay algunas magnitudes, como la temperatura, que no necesitan para estar definidas, que se otorgue información sobre su sentido, dirección y cantidad. Son las llamadas magnitudes escalares. Sin embargo, existen otras, como la velocidad o la fuerza, denominadas vectoriales, que necesitan esa información.

Un vector se representa mediante una flecha cuya punta indica una dirección, y que posee una longitud que es proporcional a la cantidad que expresa. Estos vectores permiten realizar sobre ellos operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación y división). Dos vectores de igual dirección, longitud y sentido se llaman equivalentes. Los vectores también pueden representar rotaciones.

Los vectores pueden ser libres, cuando se originan en cualquier punto; deslizantes, cuando el punto de origen se encuentre en su misma dirección; o pueden ser fijos, vinculados a un origen no modificable.

En el ámbito de las Ciencias Naturales, un vector biológico es un agente orgánico que transporta enfermedades de un organismo enfermo a otro que no lo está, para infectarlo. Por ejemplo el mosquito Aedes aegypti actúa como vector del dengue y de la fiebre amarilla. El vector del Mal de Chagas es la vinchuca. Estos vectores cuya necesidad de exterminio es evidente, también merecen ser investigados pues pueden representar la cura de enfermedades.

En Informática un vector es un lugar o zona donde se almacenan datos del mismo tipo, ordenados en filas y/o columnas, para acceder a los datos de manera más fácil.

Definición de Vector

De acuerdo al contexto en el cual se lo emplee, el término Vector ostentará diversas referencias.

A instancias de la física, un vector, será aquella representación geométrica de una magnitud, ya sea, velocidad, aceleración o fuerza, la cual necesitará de orientación espacial, punto de aplicación, dirección y sentido para quedar definida. Por ejemplo, la distancia entre dos automóviles que parten de un mismo punto no necesariamente estará determinada por sus respectivas velocidades, porque si estas son 20 km/h y 40 km/h, al pasar una hora, la distancia puede observar diferentes posibilidades.

Por lo cual la distancia entre dos autos no dependerá solamente de lo que marque su medidor de velocidad, sino que será necesario definir la velocidad con carácter vectorial, la cual será definida mediante un módulo, en este caso, la celeridad y una dirección.

En tanto, en otro contexto, como ser en el Biológico, un vector será aquel portador o huésped intermedio de un parásito o virus, el cual transmite el germen de una enfermedad a otro huésped.

Generalmente, a este tipo de vector se lo estudiará por causar enfermedades, aunque también suelen ser estudiado por ser en algunos casos la posible cura de alguna enfermedad. La mayoría de los vectores de este tipo se manifiestan en insectos hematófagos, por ejemplo los mosquitos, ya que los virus y bacterias encuentran en ellos un medio ideal de transmisión a través del contacto sanguíneo directo.

Y finalmente en la informática, especialmente dentro de lo que se conoce como programación, un vector será aquella zona de almacenamiento contiguo la cual contiene una serie de elementos del mismo tipo. La misma puede observarse como un conjunto de elementos ordenados en fila.

Definición de Imagen Vectorial

Del latín imāgo, imagen es la figura, representación, semejanza o apariencia de algo. El término también se emplea para nombrar a la representación visual de un objeto mediante técnicas de la fotografía, el video, la pintura u otra disciplina.

Vectorial, por su parte, es un adjetivo que refiere a lo perteneciente o relativo a los vectores. Se conoce vector al agente que transporta algo de un lugar a otro, aunque el significado depende del contexto.

El concepto de imagen vectorial está vinculado a la imagen digital que se compone de objetos geométricos independientes. Las características de estos objetos, que pueden ser segmentos o polígonos, están definidas por atributos matemáticos que indican su color, posición, etc.

Es posible, por lo tanto, diferenciar entre una imagen vectorial y un imagen de mapa de bits. La imagen vectorial se forma por objetos geométricos, mientras que la imagen de mapa de bits se compone de píxeles. Esto hace que la imagen vectorial, a diferencia del mapa de bits, puede ampliarse sin perder calidad. La imagen vectorial, por otra parte, puede moverse o estirarse de manera simple y sin distorsión, ya que sus componentes son independientes.

La generación de gráficos (incluso en 3D), la creación de tipografías, el desarrollo de videojuegos y la descripción de aspectos de un documento son algunas de las utilidades de las imágenes vectoriales.

Entre los formatos de imagen vectorial más populares se encuentran PDF, VML y SVG, mientras que editores de imágenes vectoriales son Adobe Illustrator, Corel Draw y Freehand, entre otros.

¿Qué es un Vector ... ?

Campo Vectorial

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma .

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Gráfico Vectorial

Una imagen vectorial es una imagen digital formada por objetos geométricos independientes (segmentos, polígonos, arcos, etc.), cada uno de ellos definido por distintos atributos matemáticos de forma, de posición, de color, etc. Por ejemplo un círculo de color rojo quedaría definido por la posición de su centro, su radio, el grosor de línea y su color.

Este formato de imagen es completamente distinto al formato de las imágenes de mapa de bits, también llamados imágenes matriciales, que están formados por píxeles. El interés principal de los gráficos vectoriales es poder ampliar el tamaño de una imagen a voluntad sin sufrir la pérdida de calidad que sufren los mapas de bits. De la misma forma, permiten mover, estirar y retorcer imágenes de manera relativamente sencilla. Su uso también está muy extendido en la generación de imágenes en tres dimensiones tanto dinámicas como estáticas.

Todos los ordenadores actuales traducen los gráficos vectoriales a mapas de bits para poder representarlos en pantalla al estar ésta constituida físicamente por píxeles.

Empuje Vectorial

El empuje vectorial es la habilidad de una aeronave u otro vehículo para dirigir el empuje de su motor en una dirección distinta a la paralela al eje longitudinal del vehículo. La técnica era originalmente pensada para proporcionar empuje vertical hacia arriba como una manera de darle a un avión la capacidad de despegues y aterrizajes verticales (VTOL) o cortos (STOL). Como consecuencia, se descubrió que usando empuje vectorial en situaciones de combate permite a la aeronave realizar varias maniobras que no son posibles con aeronaves de motores convencionales. Para realizar los giros, una aeronave que no dispone de empuje vectorial sólo cuenta con las superficies estabilizadoras de control, como los alerones o flaps; con empuje vectorial todavía debe usar las superficies de control, pero en menor grado.

Procesador Vectorial

Un procesador vectorial es un diseño de CPU capaz de ejecutar operaciones matemáticas sobre múltiples datos de forma simultánea, en contraste con los procesadores escalares, capaces de manejar sólo un dato cada vez.

Producto Vectorial

En Matemáticas, el producto cruz, producto vectorial, o producto vectorial de Gibbs es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Tiene muchas aplicaciones en las matemáticas, la física y la ingeniería.

Subespacio Vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..

Norma Vectorial

Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.

Por tanto, basándonos en las propiedades básicas que la determinación de la longitud tiene en el espacio euclídeo habitual, definimos matemáticamente qué condiciones mínimas debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometría. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la Astrofísica y la Cosmología.

En espacios vectoriales es sinónimo de longitud de un vector.

Fibrado Vectorial

En matemáticas, un fibrado vectorial es una construcción geométrica donde a cada punto de un espacio topológico (o variedad, o variedad algebraica) unimos un espacio vectorial de una manera compatible, de modo que todos esos espacios vectoriales, "pegados juntos", formen otro espacio topológico (o variedad o variedad diferenciable).

Un ejemplo típico es el fibrado tangente de una variedad diferenciable: a cada punto de la variedad asociamos el espacio tangente de la variedad en ese punto. O considere una curva diferenciable en R, y una a cada punto de la curva la normal de la línea a la curva en ese punto; esto da el "fibrado normal" de la curva. Los fibrados vectoriales complejos son importantes en muchos casos, también; son un caso especial, significando que pueden ser vistos como una estructura adicional en un fibrado real subyacente.

Vector Biológico

En términos biológicos, un vector es un agente generalmente orgánico que sirve como medio de transmisión de un organismo a otro. Los vectores biológicos se estudian por ser causas de enfermedades, pero también como posibles curas para el ser humano.

Vector Epidemiológico

En epidemiología y ecología se llama vector a un mecanismo, generalmente un organismo, que transmite un agente infeccioso o infestante desde los individuos afectados a otros que aún no portan ese agente. Por ejemplo los mosquitos de la familia de los culícidos son vectores de diversos virus y protistas patógenos. La mayor parte de los vectores de enfermedades humanas son insectos hematófagos.

Un ejemplo clásico es el mosquito Anopheles, que actúa como un vector de la enfermedad del paludismo se transmite por el parásito de la malaria Plasmodium a los seres humanos. En este caso Plasmodium es inocuo para el mosquito (hospedador definitivo), pero las causas de la enfermedad del paludismo son sufridas en seres humanos (hospedador intermedio).

Vector Génico

Un vector génico es un agente que transfiere información genética, por algún medio, de un organismo a otro. Son utilizados en biotecnología para portar el ADN recombinante desde una célula donadora hasta la célula receptora en los que se inserta el gen que se quiere transferir. A continuación se infecta la célula hospedadora con ese vector recombinante, obteniéndose la célula transgénica.

Un vector con el que los científicos experimentan son los plásmidos, con los que es posible insertar genes foráneos al núcleo de una célula. Otros vectores génicos son los bacteriófagos y cósmidos. También se puede considerar vectores genéticos a los virus, puesto que en el curso de su ciclo insertan información genética en las células que invaden.

Los vectores deben llevar, además del gen protagonista, otros genes llamados marcadores, que puedan identificar a las células que sean resistentes al antibiótico marcado o que emitan luz, según los casos, serán las portadoras del ADN recombinante. La probabilidad de fracaso en la formanción del transgénico es muy alta, debido al descontrol en la inserción de ADN foráneo, de manera que la célula puede desorganizarse y morir.

Vector Viral

Un vector viral es un virus modificado que hace de vehículo para introducir material genético exógeno en el núcleo de una célula. En terapia génica, el uso de virus como vectores requiere la eliminación de los genes que dotan al virus de su capacidad infecciosa y patógena, dejando únicamente aquellos que participan en la inserción del material genético, y su sutitución por el gen terapéutico de interés.

VectorLinux

VectorLinux es una distribución de Linux de tipo escritorio, basada en Slackware. Para plataforma Intel x86 (32 bits, hay una versión alfa de 64 bits para la arquitectura x86_64). Por más que los orígenes de esta distribución se deban al canadiense Robert S. Lange, actualmente de su desarrollo se encarga una creciente comunidad internacional.

Vector de Interrupciones

En informática el vector de interrupciones es un vector que almacena la direccioón de atención a la interrupción. En muchas arquitecturas de computación típicas, los vectores de interrupción se almacenan en una tabla en una zona de memoria, la llamada tabla de vectores de interrupción, de modo que cuando se atiende una petición de interrupción de número n, el sistema, tras realizar eventualmente algunas tareas previas (tales como salvar el valor de ciertos registros) transfiere el control a la dirección indicada por el elemento n-ésimo de dicha tabla.

Usualmente, en las arquitecturas más típicas, la transferencia de control se efectuará de modo análogo a una llamada a función a nivel de máquina, almacenándose en una pila el estado actual del registro contador de programa, que será recuperado por una instrucción máquina de retorno de interrupción, que restaurará el estado correspondiente a la ejecución normal de programa forzando la ejecución de la siguiente instrucción.

Vector Energético

Se denomina vector energético a aquellas sustancias o dispositivos que almacenan energía, de tal manera que ésta pueda liberarse posteriormente de forma controlada. Se diferencian de las fuentes primarias de energía en que, a diferencia de éstas, se trata de productos manufacturados, en los que previamente se ha invertido una cantidad de energía mayor para su elaboración.

Ejemplos típicos de vectores energéticos son las baterías, las pilas, condensadores, el hidrógeno, el agua contenida en una represa, aunque existen multitud de variantes más, como los volantes inerciales, o incluso depósitos de aire comprimido o resortes.

Nota: El petróleo, el gas y el carbón (en general todos los combustibles fósiles), que son extraidos de la tierra, pueden considerarse vectores que fueron previamente "recargados", mientras que las baterías, hidrógeno, y otros vectores, contienen energía de fuentes actuales.

Lanzadera Espacial

En los vuelos espaciales, un vector, lanzadera espacial o cohete de transporte es una especie de cohete diseñado y empleado para el transporte de carga útil desde la superficie terrestre al espacio exterior. Un sistema de lanzamiento suele incluir un vehículo de lanzamiento, la carga útil y otras infraestructuras de soporte. Generalmente la carga útil de un cohete es un satélite artificial que debe ser colocado en una cierta órbita, pero algunos viajes especiales se realizan en la sub-órbita mientras que otros permiten a las naves espaciales escapar de la influencia del campo gravitatorio terrestre por completo. Un cohete o lanzadera que suele llevar una carga útil que se queda en trayectorias suborbitales se suele denominar cohete sonda.

Cálculo Vectorial

El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Potencial Vectorial

En cálculo vectorial, un potencial vectorial o potencial vector es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial.

Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que

 \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.

Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

(la divergencia del rotacional es cero) se tiene

\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,

lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal.

Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.

Vector Director

Un vector director es, como bien lo indica su nombre, un vector que da la dirección, de una recta, y también la orienta, es decir le da un sentido determinado.

En el plano, en el espacio tridimensional o en cualquier espacio vectorial, una recta se puede definir con dos puntos o, de manera equivalente, con un punto y un vector director.

En efecto, a partir de dos puntos distintos A y B se obtiene un punto, digamos A, y un vector director . Recíprocamente, con un punto A de la recta y un vector director se construye un segundo punto de la misma, definido por . Esta recta se denota (AB) o a veces (A, ).

Vector director.png

En un plano provisto con un sistema de coordenadas, un vector director de la recta D: y = ax + b es (1, a), y una recta de ecuación cartesiana Δ: ax + by = c tiene como vectores directores ( -b, a) y (b, -a) entre otros.

Si el sistema de coordenadas es ortonormal (ortogonal y normal, es decir unitario) entonces el vector (a, b) es perpendicular a la recta. Esto permite hallar rápidamente una ecuación cartesiana de una recta (A, ), como lo muestra el siguiente ejemplo:

Vector director 2.png

En el espacio, la ecuación ax + by + cz = d no es la de una recta, sino la de un plano. Las rectas se conciben como intersección de dos planos y por lo tanto se definen por un sistema de dos ecuaciones de planos, lo que no resulta práctico pues ésta presentación no permite dibujar rápidamente la recta, al no dar punto ni vector director.

Menos mal que existe otra manera de definir las rectas del espacio: a partir de un punto ... y de un vector director.

En efecto, sea A(xa, ya, za) un punto del espacio, (ux, uy, uz) un vector no nulo del mismo.

La recta que pasa por A y que admite como vector director

es el conjunto de los puntos M tal que , con t un real cualquiera.

Ésta es una definición paramétrica de la recta, el parámetro es t. Si B es el punto que corresponde a t = 1, entonces define el punto M como baricentro de {(A, 1-t), (B, t)}. Escribiendo las coordenadas del punto M(x, y, z) obtenemos una ecuación paramétrica de la recta (A, ):

x = xa + t·ux
y = ya + t·uy
z = za + t·uz

Ésta ecuación da de inmediato un punto de la recta (con los términos constantes), un vector director (con los términos variables).

Espacio Vectorial

Hay dos maneras de presentar los espacios vectoriales. La primera es práctica, detallada y elemental, se hace listando todas las propiedades de los vectores, y la segunda es teórica, conceptual, elaborada y sintética, pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos).

Presentación Práctica

Un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, si dadas dos operaciones: suma vectorial definida en V, se denota v + w para todo v,w de V, y producto escalar en V, se denota a * v para todo v de V y a de K, si cumple las siguientes 10 propiedades para todo a, b de K y u, v y w de V:

  1. v + w pertenece a V.

La suma vectorial es una operación cerrada en V.

  1. u + (v + w) = (u + v) + w.Asociatividad de la suma vectorial en V.

  2. Existe un elemento 0 en V tal que para todo v de V, v + 0 = v.Existencia del elemento neutro de la suma vectorial en V.

  3. Para todo v de V, existe un elemento -v en V, tal que v + (-v) = 0. Existencia del elemento opuesto respecto a la suma vectorial en V.

  4. v + w = w + v.Conmutatividad de la suma vectorial en V.

  5. a*v pertence a V.El producto escalar es una operación cerrada en V.

  6. a*(b*v) = (a*b)*v.Asociatividad del producto escalar en V.

  7. Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicacion del campo escalar K, entonces 1*v = v.Neutralidad del uno del campo escalar.

  8. a*(v + w)=a*v + a*w.Distributividad con respecto a la suma vectorial.

  9. (a + b)*v = a*v + b*v.Distributividad con respecto a la suma escalar.

Las propiedades de la 1 a la 5 indican que V es conmutativo o Abeliano bajo la suma vectorial.

De las propiedades anteriores, se puede probar inmediatamente las siguientes formulas utiles:

a*0 = 0*v = 0
-(a*v) = (-a)*v = a*(-v)

para todo a de K y v de V.

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. El concepto de vector en un espacio vectorial es completamente abstracto como los conceptos de Grupo, Anillo, y Campo Escalar. Para determinar si un conjunto V es un espacio vectorial se debe especificar el conjunto V, el campo escalar K y definir la suma vectorial y el producto escalar en V. Entonces si V satisface las 10 propiedades anteriores, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. (pendiente...)

Presentación Teórica

Sea V un grupo abeliano ( o sea conmutativo) provisto de la operación (o ley, para abreviar) +. Entonces el conjunto de los endomorfismos de V ( escrito End V), o sea de las aplicaciones lineales de V (lineal en el sentido que respeta la ley +) forma un anillo (V, +, o), donde o es la ley de la composición de las aplicaciones. Por otra parte, el cuerpo K , con sus leyes + y . también es un anillo.

Para cualquier a en K, se llama homotecia de razón a el morfismo de V x → ax (esto es a.x, o a*x), que se nota ha. ( como morfismo, es una aplicación de V hacia V, lo que implica la propiedad 6)

Definición: Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si

(K, + , . ) ____f____-> ( End V, +,o)

a ________->  ha             es un morfismo de anillos.
  • El hecho que ( V, + ) sea un grupo abeliano resume las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5, puesto que en grupo, la operación es interna (1), asociativa (2), tiene neutro (3) y elemento opuesto para cada vector (4),y si el grupo es abeliano, la ley es conmutativa (5).

  • El que ha sea lineal da la propiedad 9, porque ha(v + w) = ha(v) + ha(w) o sea a(v + w) = av + aw.

El que f sea un morfismo de anillos significa que:

  • f(a + b) = f(a) + f(b), es decir que ha + b = ha + hb o sea (a+b)v = av + bv (propiedad 10)

  • f(ab) = f(a)o f(b), es decir hab = hao hb, o sea (a.b)(x)= a.(b.x) (propiedad 7)

  • f(1) = id,o sea h1 = id, donde 1 es el neutro de (K, .) y id es la identidad, es decir la aplicación x → x de V. La identidad es obviamente el neutro de End V. Esto se escribe 1.v = v para cuaquier vector v. (propiedad 8 )

Se prodriá añadir f(0) = 0 , la aplicación nula de V, pero es una consecuencia del tercer punto.

El último punto ( f(1)= id ) equivale a afirmar que f no es la aplicación nula.

Vector, Concepto

La palabra vector proviene del latín vector, o vectoris, y se define como cualquier elemento o agente que es capaz de transportar algo de un lugar a otro. Sin embargo, la palabra es ampliamente utilizada en campos como la física, la medicina o la biología, y en todos ellos representa un concepto distinto.

En física, por ejemplo, los vectores facilitan la representación en gráficas de cualquier magnitud física que lleve consigo una orientación. Un vector siempre definirá la longitud, dirección y sentido de la magnitud con la que se trabaje. Suelen ser representado mediante una línea con dirección o flecha, conectando un punto inicial A a un punto final B.

En un ejemplo sencillo, cosas como la fuerza de gravedad, la aceleración o fuerza de fricción pueden ser representadas mediante el uso de vectores, facilitando de sobremanera la comprensión y resolución de problemas físicos. Los vectores también pueden ser sumados unos con otros. Los vectores físicos también son llamados vectores euclidianos.

Es importante no confundir los vectores que se utilizan en la física con los que se utilizan en el álgebra lineal, que pertenecen al concepto del espacio vectorial.

En biología, un vector epidemiológico es cualquier organismo que transmite una infección o enfermedad a otro organismo que aún no cuenta con la enfermedad. Como ejemplo sencillo, cuando alguien tiene un resfriado y se lo contagia a otra persona, la persona que lo tenía originalmente es considerada como un vector epidemiológico.

También se puede hablar de vectores genéticos que, como su propio nombre nos podría indicar, son organismos capaces de transmitir material genético a otros organismos. Muchos virus, por ejemplo, entran en esta definición al ser capaces de modificar e insertar nuevo material genético en otros organismos.

En informática, un vector de datos es una estructura que contiene una colección de x número de elementos, cada uno identificados con su propio índice. Así, un vector de datos con los números del 1 al 10 tendrá índices para cada uno de esos números, empezando con el índice cero para el número 1, el índice 1 para el número 2 y así sucesivamente. Son parte de las estructuras básicas de datos en la informática.

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